Kaksi erilaista nostokonetta

Tehtävänä on suunnitella kone, jossa olevaa kampea kääntämällä nostetaan tuhannen newtonin paino puolen metrin korkeudelle. Kammen kuuluu tällä matkalla pyörähtää 30 astetta.

1. Vaijerinostin

Ensimmäisenä koneena kokeillaan kuvan 1 mukaista suuren kelan ympäri kierrettyä vaijeria, joka nostaa painoa väkipyörän avulla.

Kuva 1: Vaijerinostin

Kun kelan ulkokehälle pistetään kahva, siitä kiertämällä vaijeri nostaa painoa ylöspäin. Tarvittava momentti, jolla kelaa pitää kiertää että paino nousisi, on 1000 N × 0,955 m = 955 Nm. Kun kelaa kierretään tällä momentilla 30 asteen verran, tehdään työ, joka on suuruudeltaan momentti kertaa kiertokulma eli 955 Nm × 30° × ( π / 180° ) = 500 Nm, mikä on yhtä suuri kuin painon potentiaalienergian muutos, kun se nousee puoli metriä. Kaikki kelaa pyörittäessä tehty työ siirtyi painon potentiaalienergiaksi, koska systeemissä ei oletettu olevan kitkahäviöitä.

Huomionarvoista on, että kelan pyörittämiseen tarvittava momentti on aina 955 Nm riippumatta siitä, miten kaukana väkipyörä ja paino ovat kelasta. Kelan ja nostettavan kappaleen välinen etäisyys ei siis vaikuta nostamisessa tarvittavaan momenttiin.

2. Vipunostin

Toisena vaihtoehtona kokeillaan kuvan 2 mukaista laitetta, jossa nostaminen tapahtuu vipujen välityksellä.

Vipuviritys

Kuva 2. Vipunostin.

Kuvan 2 vipunostolaitteessa punnuksen korkeus h riippuu kammen kiertokulmasta α yhtälön h = 1 m × sin α mukaisesti. Punnuksen potentiaalienergia on E = h × 1000 N = 1000 Nm × sin α. Derivoimalla tämä kulman α suhteen saadaan selville momentti, jolla kahvaa pitää kääntää eri vaiheissa nostoa: M = d E / d α = 1000 Nm × cos α.

Huomionarvoista on, että nostossa tarvittava momentti ei tässäkään tapauksessa riipu nostettavan kappaleen ja kammen tyven välisestä etäisyydestä, vaan ainoastaan painon pystysuoran liikkeen määrästä, joka kampea kääntämällä saadaan aikaan.

Kuvassa 3 on esitetty edellä kuvattujen koneiden kahvasta kääntämiseen tarvittava momentti eri kiertokulmilla. Vaijerikoneessa momentti säilyy koko ajan vakiona, koska jokainen kiertokulman aste nostaa painoa yhtä paljon. Vipukoneessa nousu on aluksi jyrkempää, mutta loivenee sitä mukaa kun nostoliikkeen välittävät varret kääntyvät pystympään. Momenttikäyrien alapuolelle jäävä pinta-ala on kummankin koneen tapauksessa yhtä suuri. Tämä pinta-ala ilmoittaa systeemiin tehdyn työn, joka on kitkattomassa tapauksessa yhtä kuin painon potentiaalienergian muutos. Koska vain pystysuorassa liikkeessä potentiaalienergia muuttuu, systeemiin tehty työ (eli toisin sanottuna kammen kääntämiseen tarvittava momentti) riippuu ainoastaan kammen kääntämisen aiheuttaman pystysuoran liikkeen määrästä, ei kammen ja nostettavan kappaleen välisestä etäisyydestä.

Momenttikuvaaja